دانلود ترجمه کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی فارسی

ویرایش جدید کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی

مکانیک کوانتومی مدرن (پیشرفته)

نویسنده: جی جی ساکورای

کامل ترین ترجمه کتاب به زبان فارسی

تایپ شده و رنگی با قابلیت جستجو

انتشارات نگاره

مترجم:فریما قدمی

فرمت :PDF

ویرایش جدید

دانلود کتاب

‌‌‌‌‌‌() ً «‌‌» ً ‌|⟩ |⟩ «‌‌» زاویه اختلاط θ مشخص می‌شود، به این موارد مرتبط می‌شوند:

اگر زاویه اختلاط صفر باشد، به ترتیب |νe⟩ و |νμ⟩ برابر با |ν1⟩ و |ν2⟩ خواهند بود. با این حال، ما هیچ دلیلی نداریم که چرا باید چنین باشد. در واقع، هیچ سوگیری نظری قوی برای مقدار خاصی از θ وجود ندارد، و این یک پارامتر آزاد است که امروزه، تنها از طریق آزمایش قابل تعیین است.
نوسان نوترینو پدیده ای است که با آن می توانیم زاویه اختلاط را اندازه گیری کنیم. فرض کنید ما در زمان t = 0، یک حالت ویژه تکانه از یک طعم نوترینو آماده می کنیم، مثلاً |νe⟩. سپس طبق (2.63a) دو جزء حالت ویژه جرمی مختلف با فرکانس‌های مختلف تکامل می‌یابند و بنابراین یک اختلاف فاز نسبی ایجاد می‌‌شود. اگر تفاوت در جرم ها به اندازه کافی کم باشد، این اختلاف فاز می تواند در یک فاصله ماکروسکوپی ایجاد شود. در واقع، با اندازه‌گیری تداخل به عنوان تابعی از تفاوت، می‌توان نوسان‌هایی را با دوره‌ای که به اختلاف جرم‌ها بستگی دارد و دامنه‌ای که به زاویه اختلاط بستگی دارد، مشاهده کرد (مسئله 2.4 را در پایان این فصل ببینید). استفاده از (2.63) همراه با (2.28) و فرضیه های مکانیکی کوانتومی، و یافتن یک کمیت قابل اندازه گیری که نوسانات نوترینو را نشان می‌دهد، ببینید. در این مورد، همیلتونین فقط برای یک ذره آزاد است، اما ما باید کمی احتیاط کنیم. نوترینوها جرم بسیار کمی دارند، بنابراین برای هر شرایط تجربی عملی بسیار نسبیتی هستند. بنابراین، برای یک تکانه ثابت p، مقدار ویژه انرژی برای نوترینویی با جرم m به تقریب بسیار خوبی داده می شود؛

اگر اجازه دهیم حالت |νe⟩ تکامل یابد، و سپس در زمان بعدی بپرسیم که احتمال اینکه همچنان به عنوان |νe⟩ ظاهر شود (برخلاف a |νμ⟩) چقدر است، متوجه می‌شویم؛

که در آن Δm2 ≡ m21 – m2، L = ct فاصله پرواز نوترینو است و E = pc انرژی اسمی نوترینو است.
نوسانات پیش بینی شده توسط (2.65) به طور چشمگیری با انجام آزمایش KamLAND مشاهده شده است. شکل 2.2 را ببینید. نوترینوهای مجموعه‌ای از راکتورهای هسته‌ای در فاصله تقریباً 150 کیلومتری شناسایی می‌شوند و میزان آن با میزان مورد انتظار از قدرت و خواص راکتور مقایسه می‌شود. منحنی یک موج سینوسی کامل نیست زیرا راکتورها همه در یک فاصله از آشکارساز قرار ندارند.
شکل 2.2 نوسانات نوترینو که توسط آزمایش دانلود کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی مشاهده شده است، برگرفته از Abe et al., Phys. Rev. Lett., 100 (2008) 221803. نوسانات به عنوان تابعی از L/E تداخل بین حالت های ویژه جرمی مختلف نوترینوها را نشان می دهد.
۲.۱.۷ همبستگی دامنه و رابطه عدم قطعیت انرژی-زمان
ما این بخش را با این پرسش به پایان می‌بریم که کت‌های حالت در زمان‌های مختلف چگونه با یکدیگر مرتبط هستند. فرض کنید حالت اولیه ket در t = 0 یک سیستم فیزیکی با |α⟩ داده شده است. با گذشت زمان به |α، t0 = 0 تغییر می کند. t⟩، که با اعمال عملگر زمان تکامل به دست می آوریم. ما نگران این هستیم که تا چه حد حالت ket در زمان بعدی t مشابه حالت ket در t = 0 است. بنابراین ما محصول داخلی را بین دو حالت کت در زمان های مختلف می سازیم:

که به دامنه همبستگی معروف است. مدول C(t) یک اندازه گیری کمی از “شباهت” بین حالت ها در زمان های مختلف ارائه می دهد.
به عنوان یک مثال ، مورد بسیار خاصی را در نظر بگیرید که در آن ket اولیه |α⟩ یک ویژه از H است. پس از آن ما داریم

دانلود کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی

بنابراین مدول دامنه همبستگی در همه زمان ها وحدت است، که برای یک حالت ساکن تعجب آور نیست. در وضعیت کلی تر که در آن کت اولیه با برهم نهی {|a’⟩} نشان داده می شود، مانند (2.37)، داریم:

همانطور که ما بیش از عبارات زیادی را با وابستگی زمانی نوسانی فرکانس های مختلف جمع می کنیم، یک حذف قوی برای مقادیر نسبتاً بزرگ t امکان پذیر است. ما انتظار داریم دامنه همبستگی که با وحدت در t = 0 شروع می شود با گذشت زمان از بزرگی کاهش یابد.
برای تخمین (2.68) به شیوه ای دقیق تر، فرض کنیم که حالت ket را می توان به عنوان برهم نهی از بسیاری از ویژه گیشه های انرژی با انرژی های مشابه در نظر گرفت که می توانیم آنها را اساساً طیفی شبه پیوسته در نظر بگیریم. پس از آن، جایگزینی مجموع با انتگرال مجاز است؛

که ρ(E) چگالی حالت های ویژه انرژی را مشخص می کند. اکنون عبارت (2.68) تبدیل می شود به:

مشروط به شرایط نرمال سازی؛

در یک موقعیت فیزیکی واقعی |g(E)|2 ρ(E) ممکن است در اطراف E = E0 با عرض ΔE به اوج برسد. فرمول (2.70) به صورت زیر نوشته می‌شود؛

می بینیم که با بزرگ شدن t، انتگرال خیلی سریع نوسان می کند مگر اینکه بازه انرژی |E – E0 | در مقایسه با h ̄ /t کوچک است. اگر فاصله زمانی که |E − E0 | ≃ h ̄ /t بسیار باریکتر از ΔE است، عرض |g(E)|2ρ(E) است، ما اساساً هیچ مشارکتی در C(t) به دلیل لغوهای قوی دریافت نمی کنیم. زمان مشخصه ای که در آن مدول دامنه همبستگی شروع به تغییر محسوسی از 1 می کند، بدین صورت؛

حتی اگر این معادله برای یک حالت برهم نهی با طیف انرژی شبه پیوسته به دست می آید، برای یک سیستم دو سطحی نیز منطقی است. در مسئله اسپین – تقدم که قبلاً در نظر گرفته شد، حالت دانلود کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی ، که در ابتدا |Sx+⟩ است، پس از ~ 1/ω = h ̄/(E+ -E-) شروع به از دست دادن مشخصه خود می کند، درست همانطور که از (2.60) مشهود است.
به طور خلاصه، در نتیجه تکامل زمانی، حالت ket یک سیستم فیزیکی پس از یک بازه زمانی مرتبه h ̄/ΔE دیگر شکل اولیه خود را حفظ می کند. در کتب مختلف اغلب گفته می شود که این نقطه رابطه عدم قطعیت انرژی-زمان به این صورت است؛

با این حال، باید به وضوح درک کرد که این رابطه عدم قطعیت انرژی-زمان ماهیت بسیار متفاوتی با رابطه عدم قطعیت بین دو مشاهده ناسازگار مورد بحث در بخش 1.4 دارد. در فصل 5 ما به ارتباط (2.74) با نظریه اغتشاش وابسته به زمان باز خواهیم گشت.
2.2 تصویر شرودینگر در مقابل هایزنبرگ
2.2.1 اپراتورهای واحد
در بخش قبل، مفهوم توسعه زمان را با در نظر گرفتن عملگر تکامل زمان که بر کت‌های حالت تأثیر می‌گذارد، معرفی کردیم. این رویکرد به دینامیک کوانتومی به عنوان تصویر شرودینگر شناخته می شود. فرمول دیگری از دینامیک کوانتومی وجود دارد که در آن قابل مشاهده ها، به جای کت های حالت، با زمان تغییر می کنند. این رویکرد دوم به عنوان تصویر هایزنبرگ شناخته می شود. قبل از اینکه به تفصیل درباره تفاوت‌های بین این دو رویکرد بحث کنیم، به ارائه نظرات کلی در مورد عملگرهای واحد می‌پردازیم.
عملگرهای واحد برای اهداف مختلف در مکانیک کوانتومی استفاده می شوند. در این کتاب (بخش 1.5) یک اپراتور را معرفی کردیم که ویژگی واحد را برآورده می کند. در آن بخش، ما درگیر این سوال بودیم که چگونه کت های پایه در یک نمایش با برخی از نمایش های دیگر مرتبط هستند. فرض بر این است که کت‌های حالت تغییر نمی‌کنند، زیرا ما به مجموعه دیگری از کت‌های پایه تغییر می‌کنیم، حتی اگر مقادیر عددی ضرایب بسط برای |α⟩، در نمایش‌های مختلف متفاوت باشد.
متعاقباً دو عملگر واحد را معرفی کردیم که در واقع کت‌های حالت را تغییر می‌دهند، طبق عملگر تبادل بخش 1.6 و عملگر زمان تکامل بخش 2.1. داریم:

که U ممکن است مخفف T (dx) یا U (t,t0) باشد. در اینجا U|α⟩ حالت ket مربوط به یک سیستم فیزیکی است که در واقع دستخوش تبادل و یا تکامل زمانی شده است.
مهم است که به خاطر داشته باشید که تحت یک تحول واحد که حالت‌ها را تغییر می‌دهد، محصول داخلی یک کاپ حالت و یک حالت کت بدون تغییر باقی می‌ماند؛

با استفاده از این واقعیت که این تبدیل‌ها بر روی کت‌های حالت تأثیر می‌گذارند اما بر عملگرها تأثیر نمی‌گذارند، می‌توان نتیجه گرفت که ⟨β|X|α⟩ چگونه تغییر می‌کند

اکنون یک محاسبه ریاضی بسیار ساده انجام می دهیم که از اصل موضوعی ضرب به دست می آید.

آیا فیزیک در این مشاهده وجود دارد؟ این هویت ریاضی دو رویکرد را برای تحولات واحد پیشنهاد می کند.
دیدگاه 1:

که اپراتورها در آن بدون تغییرند،
دیدگاه 2:

در فیزیک کلاسیک ما کت های حالت را تعریف نمی کنیم، با این حال در مورد تبادل، تکامل زمانی و مواردی از این دست صحبت می کنیم. این ممکن است زیرا این عملیات در واقع کمیت هایی مانند x و L را که قابل مشاهده مکانیک کلاسیک هستند تغییر می دهند. بنابراین ما حدس می زنیم که اگر از رویکرد 2 پیروی کنیم، ممکن است ارتباط نزدیک تری با فیزیک کلاسیک ایجاد شود.
یک مثال ساده ممکن است در اینجا مفید باشد. به عملگر تبادل بینهایت کوچک T (dx′) برمی گردیم. فرمالیسم ارائه شده در بخش 1.6 بر اساس دیدگاه 1 است. T (dx’) روی کت‌های حالت تأثیر می‌گذارد، نه عملگر موقعیت:

در مقابل، اگر از رویکرد 2 پیروی کنیم، داریم؛

ما آن را به عنوان تمرینی برای خواننده می گذاریم و نشان می‌دهیم که هر دو رویکرد (دیدگاه) به یک نتیجه برای مقدار مورد‌انتظار x منجر می شوند:

۲.۲۲ حالات کت‌ها و مشاهدات در تصاویر شرودینگر و هایزنبرگ
اکنون به عملگر تکامل زمان U (t, t0) باز می گردیم. در بخش قبل نحوه تکامل کت های حالت با زمان را بررسی کردیم. این بدان معناست که ما رویکرد 1 را دنبال می‌کردیم که به عنوان تصویر شرودینگر شناخته می‌شد که در مورد تکامل زمانی اعمال شد. از طرف دیگر، بهتر است که از رویکرد 2 که به عنوان تصویر هایزنبرگ شناخته می شود و از تکامل زمانی پیروی کنیم.
در تصویر شرودینگر عملگرهای مربوط به قابل مشاهده‌هایی مانند x، py و Sz در زمان ثابت هستند، در حالی که کت‌های حالت با زمان تغییر می‌کنند، همانطور که در بخش قبل نشان داده شد. در مقابل، در تصویر هایزنبرگ عملگرهای مربوط به مشاهده پذیرها با زمان تغییر می کنند. حالت‌های ثابت هستند، به اصطلاح، در جایی که در t0 بودند، بی‌فایده(فریز) شده‌اند. تنظیم t0 در U (t,t0) برای سادگی و کار با U (t) بدین صورت است؛

با توجه به (2.79b) رویکرد 2، تصویر هایزنبرگ قابل مشاهده، می‌شود:

دانلود کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی

که در آن حروف H و S به ترتیب مخفف هایزنبرگ و شرودینگر هستند. در t = 0، تصویر هایزنبرگ قابل مشاهده و تصویر شرودینگر مربوطه بر هم منطبق هستند:

کت های حالت نیز بین دو تصویر در t = 0 منطبق است. در t بعد، حالت تصویر هایزنبرگ به مقدار t = 0 منجمد می شود:

مستقل از t است. و این در تضاد چشمگیر با حالت تصویر شرودینگر است،

بدیهی است که مقدار انتظار ⟨A⟩ در هر دو تصویر یکسان است:

2.2.3 معادله حرکت هایزنبرگ
اکنون معادله اساسی حرکت را در تصویر هایزنبرگ به دست می آوریم. با فرض اینکه A(S) به طور واضحی به زمان بستگی ندارد و در بیشتر موقعیت های فیزیکی خاص چنین است، [با تمایز (2.84)] به دست می آوریم.

که ما از مورد زیر استفاده کرده ایم [مراجعه کنید به (2.25)]؛

از آنجا که H در ابتدا در تصویر شرودینگر معرفی شد، ممکن است وسوسه شویم که تعریف کنیم؛

مطابق با (2.84).
اما در کاربردهای ابتدایی که U با (2.83) بدست می‌آید، U و H قطعا که تبادل دارند. در نتیجه،

بنابراین (2.89) برا به صورت زیر نیز می‌توانیم بنویسیم؛

این معادله به معادله حرکت هایزنبرگ معروف است. توجه داشته باشید که ما آن را با استفاده از ویژگی های عملگر زمان تکامل و معادله تعریف کننده A(H) به دست آورده ایم.
آموزنده است که (2.93) را با معادله کلاسیک حرکت در فرم براکت پواسون مقایسه کنید. در فیزیک کلاسیک، برای تابع A از q و p که به طور صریح شامل زمان نمی شود، داریم (گلدشتاین و همکاران (2002)، ص 396-397)؛

باز هم می بینیم که قانون کوانتیزاسیون دیراک (1.6.47) به معادله صحیح در مکانیک کوانتومی منجر می شود. در واقع، با توجه به (2.93) برای اولین بار توسط P. A. M. دیراک نوشته شد، که با فروتنی خود، آن را معادله حرکت هایزنبرگ نامید. با این حال، شایان ذکر است که (2.93) منطقی است که آیا A(H) یک آنالوگ کلاسیک دارد یا نه. به عنوان مثال، عملگر چرخش در تصویر هایزنبرگ صدق می‌کند؛

که می توان از آن برای بحث تقدم اسپین استفاده کرد، اما این معادله همتای کلاسیکی ندارد، زیرا Sz را نمی توان تابعی از q و p نوشت. به جای پافشاری بر قانون دیراک، (1.229)، می‌توانیم استدلال کنیم که برای کمیت های دارای همتای کلاسیک، معادله کلاسیک صحیح را می توان از معادله مکانیکی کوانتومی مربوطه از طریق ansatz به دست آورد.

مکانیک کلاسیک را می توان از مکانیک کوانتومی استخراج کرد، اما برعکس آن صادق نیست. (4)
2.2.4 ذرات آزاد: قضیه Ehrenfest
چه در تصویر شرودینگر کار کنیم و چه در تصویر هایزنبرگ، برای اینکه بتوانیم از معادلات حرکت استفاده کنیم، ابتدا باید نحوه ساخت عملگر همیلتونی مناسب را بیاموزیم. برای یک سیستم فیزیکی با آنالوگ های کلاسیک، همیلتونی را همان شکلی است که در فیزیک کلاسیک وجود دارد. ما فقط xi و pi کلاسیک را با عملگرهای مربوطه در مکانیک کوانتومی جایگزین می کنیم. با این فرض می توانیم معادلات کلاسیک صحیح را در حد کلاسیک بازتولید کنیم. هر زمان که ابهامی به دلیل مشاهده‌پذیرهای غیرمسافرتی ایجاد می‌شود، سعی می‌کنیم آن را با الزام H به هرمیتی بودن حل کنیم. برای مثال، ما آنالوگ مکانیکی کوانتومی محصول کلاسیک xp را بدین صورت می نویسیم: (xp + px)1/2 .
وقتی سیستم فیزیکی مورد نظر هیچ آنالوگ (معادل) کلاسیکی نداشته باشد، ما فقط می توانیم ساختار عملگر همیلتونی را حدس بزنیم. ما اشکال مختلف را امتحان می کنیم تا زمانی که همیلتونی را بدست آوریم که منجر به نتایجی شود که با مشاهدات تجربی سازگار است.
در کاربردهای عملی اغلب لازم است که کموتاتور xi (یا pi) را با توابع xj و pj ارزیابی کنیم. برای این منظور فرمول های زیر کاربرد دارند:

که در آن F و G توابعی هستند که به ترتیب در توان دانلود کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی از pj و xj قابل گسترش هستند. ما می توانیم به راحتی هر دو فرمول را با اعمال مکرر (1.232e) اثبات کنیم.
ما اکنون در موقعیتی هستیم که معادله حرکت هایزنبرگ را برای یک ذره آزاد با جرم m اعمال کنیم. همیلتونی به همان شکلی است که در مکانیک کلاسیک وجود دارد

دانلود کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی

(4) در این کتاب از این ترتیب پیروی می کنیم: تصویر شرودینگر → تصویر هایزنبرگ → کلاسیک. برای برخورد روشنگرانه با موضوع مشابه به ترتیب مخالف، کلاسیک → تصویر هایزنبرگ → تصویر شرودینگر، به فینکلشتاین (1973)، صفحات 68-70 و 109 مراجعه کنید.

ما به مشاهده پذیرهای pi و xi نگاه می کنیم، که در تصویر هایزنبرگ به عنوان تکانه و عملگر موقعیت در نظر گرفته می شود (حتی اگر ما بالانویس (H) را حذف کنیم). چون پی با هر تابعی از pj جابجا می شود، داریم؛

بنابراین برای یک ذره آزاد، عملگر تکانه ثابت حرکت است، به این معنی که pi(t) در هر زمان با pi(0) یکسان است. به طور کلی، از معادله حرکت هایزنبرگ (2.93) مشهود است که هرگاه A(H) با دانلود کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی  جابجا شود، A(H) ثابت حرکت است. سپس:

که ما از (2.97a) استفاده کرده ایم، بنابراین راه حل ما این است؛

که یادآور معادله خط سیر کلاسیک برای یک حرکت مستطیل یکنواخت است. توجه به این نکته ضروری است که با وجود اینکه داریم:
در زمان های مساوی، جابجایی xi در زمان های مختلف ناپدید نمی شود. به طور مشخص داریم؛

با اعمال رابطه عدم قطعیت (1.146) برای این کموتاتور، به دست می آوریم؛

در میان موارد دیگر، این رابطه نشان می‌دهد که حتی اگر ذره در t = 0 به خوبی محلی‌سازی شود، موقعیت آن با گذشت زمان نامشخص‌تر می‌شود، نتیجه‌ای که می‌توان با مطالعه رفتار تکامل زمان بسته‌های موج ذره آزاد در مکانیک موج نیز به دست آورد.
اکنون یک V(x) بالقوه به همیلتونین ذره آزاد قبلی خود اضافه می کنیم:

در اینجا V(x) باید به عنوان تابعی از عملگرهای x-، y- و z درک شود. استفاده از (2.97b)
این بار داریم:

به عبارت دیگر، می‌بینیم که؛

همچنان پابرجاست، چرا که xi با عبارت جدید اضافه شده V(x) جا به‌جا می‌شود. می توانیم یک بار دیگر از معادله حرکت هایزنبرگ برای استنباط استفاده کنیم؛

که با ترکیب این با (2.32)، در نهایت به صورت برداری به دست می‌آوریم؛

این آنالوگ مکانیکی کوانتومی قانون دوم نیوتن است. با در نظر گرفتن مقادیر مورد‌‌‌انتظار هر دو طرف با توجه به حالت هایزنبرگ که تحت تاثیر زمان قرار نمی‌گیرد، داریم؛

این قضیه پس از پی ارنفست، که آن را در سال 1927 با استفاده از فرمالیسم مکانیک موج استخراج کرد، به عنوان قضیه ارنفست شناخته می شود. هنگامی که در این فرم انتظار نوشته می شود، اعتبار آن مستقل از این است که آیا ما از تصویر هایزنبرگ شرودینگر استفاده می‌کنیم. به هر حال، مقادیر انتظارات در دو تصویر یکسان است. در مقابل، شکل عملگر (2.109) تنها زمانی معنادار است که x و p را عملگرهای تصویر هایزنبرگ بدانیم.
توجه می کنیم که در (2.110) h ̄ کاملاً ناپدید شده اند. بنابراین جای تعجب نیست که مرکز یک بسته موج مانند یک ذره کلاسیک در معرض V(x) حرکت کند.
2.2.5 کیت های پایه و دامنه های انتقال
تا کنون از بیان این سوال که کت های پایه در زمان چگونه تکامل می یابند پرهیز کرده ایم. یک تصور غلط رایج این است که با گذشت زمان، همه کت ها در تصویر شرودینگر حرکت می کنند و در تصویر هایزنبرگ ثابت هستند. همانطور که به زودی روشن خواهیم کرد، این مورد صحیح نیست. نکته مهم، تشخیص رفتار کت های حالت از کت‌های پایه است.
ما بحث خود را در مورد فضاهای کت در بخش 1.2 با ذکر این نکته آغاز کردیم که ویژگی‌های مشاهده‌پذیر باید به عنوان کت‌های پایه استفاده شوند. چه اتفاقی برای معادله مقدار ایگن تحت تاثیر زمان می‌افتد؟

در تصویر شرودینگر، A تغییر نمی‌کند، بنابراین کت‌های پایه، به‌عنوان راه‌حل معادله مقدار ویژه در t = 0، برای مثال، باید بدون تغییر باقی بمانند. برخلاف حالت کت ها، کت های پایه در تصویر شرودینگر تغییر نمی کنند.
کل وضعیت در تصویر هایزنبرگ بسیار متفاوت است، جایی که معادله مقدار ویژه که باید مطالعه کنیم برای عملگر وابسته به زمان است.

از (2.111) که در t = 0 ارزیابی شد، زمانی که دو تصویر بر هم منطبق شدند، اینگونه استنباط می کنیم؛

که یک معادله مقدار ویژه را برای A(H) نشان می دهد:
اگر همچنان این دیدگاه را حفظ کنیم که مجموعه‌های ویژه مشاهده‌پذیرها، کِت‌های پایه را تشکیل می‌دهند، پس باید از {U †|a’⟩} به عنوان کت‌های پایه در تصویر هایزنبرگ استفاده شود. با گذشت زمان، کت های پایه تصویر هایزنبرگ که با |a’,t⟩H نشان داده می شوند، به صورت زیر پیشروی می کنند:

به دلیل ظهور U † به جای U در (2.115)، کت های پایه تصویر هایزنبرگ در مقایسه با کت های حالت تصویر شرودینگر، برعکس می چرخند. به طور خاص، |a’,t⟩H “معادله شرودینگر با علامت اشتباه” را نشان می‌دهد؛

در مورد خود مقادیر ویژه، از (2.114) می بینیم که با گذشت زمان بدون تغییر هستند. این با قضیه مشاهده پذیرهای معادل واحدی که در بخش 1.5 بحث شد، سازگار است. همچنین به بسط زیر برای A(H)(t) از نظر پایه کت ها و کاپ‌های تصویر هایزنبرگ توجه کنید:

که نشان می دهد همه چیز کاملاً سازگار است، مشروط بر اینکه کت های پایه هایزنبرگ مانند (2.115) تغییر کنند.
می بینیم که ضرایب انبساط یک کت حالت بر حسب کت های پایه در هر دو تصویر یکسان است

کتاب مکانیک کوانتومی

به صورت تصویری، ممکن است بگوییم که کسینوس زاویه بین حالت کت و کت پایه یکسان است، چه حالت کت را در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخانیم و چه کت پایه را در جهت عقربه های ساعت. این ملاحظات به همان اندازه برای کت های پایه که طیف پیوسته ای از خود نشان می دهند، اعمال می شود. به طور خاص، تابع موج ⟨x′|α⟩ را می توان به عنوان (1) حاصل ضرب داخلی موقعیت ثابت کاپ ایگن با حالت متحرک ket (تصویر شرودینگر) و یا (2) حاصلضرب داخلی موقعیت متحرک کاپ ایگن با حالت ثابت ket (تصویر هایزنبرگ) در‌نظر گرفت. ما در مورد وابستگی زمانی تابع موج در بخش 2.4 بحث خواهیم کرد، جایی که معادله معروف موج شرودینگر را استخراج خواهیم کرد.
برای نشان دادن بیشتر هم ارزی بین دو تصویر، دامنه های انتقال را مطالعه می کنیم که نقش اساسی در بخش 2.6 بازی می کند. فرض کنید یک سیستم فیزیکی در t = 0 آماده شده است تا در حالت ویژه A قابل مشاهده با مقدار ویژه a’ قرار گیرد. در زمان بعدی t ممکن است بپرسیم: دامنه احتمال، که به عنوان دامنه انتقال شناخته می شود، برای یافتن سیستم در حالت ویژه(ایگن) B قابل مشاهده با مقدار ویژه b′ چیست؟ در اینجا A و B می توانند یکسان یا متفاوت باشند. در تصویر شرودینگر وضعیت ket در t با U |a′⟩ داده می شود، در حالی که کت های پایه |a′⟩ و |b′⟩ با زمان تغییر نمی کنند. بنابراین ما داریم؛

برای این دامنه انتقال در تصویر هایزنبرگ حالت ket ثابت است، یعنی همیشه به صورت |a’⟩ باقی می‌ماند، اما بر‌خلاف آن کت‌های پایه تکامل می‌یابند. بنابراین دامنه انتقال به صورت زیر است؛
بدیهی است که (2.119) و (2.120) یکسان هستند. هر دو را می توان به صورت زیر نوشت؛

در حالت آزاد، این دامنه انتقال برای «رفتن» از حالت |a′⟩ به حالت |b′⟩ است. برای پایان دادن به این بخش، اجازه دهید تفاوت های بین شرودینگر را خلاصه کنیم؛
عکس و تصویر هایزنبرگ; جدول 2.1 را ببینید.

۲.۳ نوسان ساز هارمونیک ساده
نوسان ساز هارمونیک ساده یکی از مهمترین مسائل در مکانیک کوانتومی است. این نه تنها بسیاری از مفاهیم و روش های اساسی مکانیک کوانتومی را نشان می دهد، بلکه ارزش عملی زیادی نیز دارد. اساساً هر میزان پتانسیل را می توان با یک نوسان ساز هارمونیک ساده تقریب زد، بنابراین پدیده هایی از ارتعاشات مولکولی تا ساختار هسته ای را توصیف می کند. علاوه بر این، از آنجایی که هامیلتون اساساً مجموع مربعات دو متغیر مزدوج متعارف است، نقطه شروع مهمی برای بسیاری از نظریه‌های میدان کوانتومی نیز هست.
۲.۳.۱ کت‌ها و انرژی ویژه
ما بحث خود را با روش عملگر ظریف دیراک، که بر اساس کارهای بورن و ان. وینر است، آغاز می کنیم. برای به دست آوردن ویژه انرژی و مقادیر ویژه انرژی نوسانگر هارمونیک ساده. دانلود رایگان کتاب مبانی رفتار سازمانی استیفن رابینز ترجمه فارسی پایه به صورت زیر است؛

که در آن ω فرکانس زاویه ای نوسان ساز کلاسیک مربوط به ثابت فنر √k در قانون هوک ، مطابق با ω = k/m است. البته عملگرهای x و p هرمیتی هستند. تعریف دو اپراتور غیر هرمیتی به صورت زیر است؛

بنا به دلایلی که به زودی مشخص خواهد شد، به ترتیب به عنوان عملگر حذف و عملگر ایجاد، معرفی می شوند. با استفاده از روابط کموتاسیون متعارف، به راحتی به دست می آوریم؛

عملگر عدد را هم تعریف می کنیم؛

که آشکارا هرمیتی است و دیدن آن ساده است:

بنابراین ما یک رابطه مهم بین عملگر عدد و عملگر همیلتونی داریم:

از آنجا که H فقط یک تابع خطی از N است، N را می توان همزمان با H قطری کرد. ما یک ویژه انرژی N را با مقدار ویژه آن n نشان می دهیم، بنابراین؛

بعداً نشان خواهیم داد که n باید یک عدد صحیح غیر منفی باشد. به علت (2.127) داریم؛

به این معنی که مقادیر ویژه انرژی از راه زیر بدست می‌آید؛

برای درک اهمیت فیزیکی a، a† و N، اجازه دهید ابتدا توجه کنیم که؛

که ما از (2.124) استفاده کرده ایم. به همین ترتیب، ما داریم؛

در نتیجه ما داریم؛

این روابط نشان می دهد که a†|n⟩(a|n⟩) نیز یک ویژه از N است که مقدار ویژه یک افزایش (کاهش) دارد. از آنجایی که افزایش (کاهش) n به میزان یک برابر با ایجاد (حذف) یک واحد کوانتومی انرژی h ̄ ω است، عبارت عملگر ایجاد (عملگر نابودی) برای a† (a) مناسب تلقی می شود.
معادله (2.133b) نشان می دهد که a|n⟩ و |n-1⟩ تا یک ثابت ضربی یکسان هستند. پس می‌نویسیم؛

که در آن c یک ثابت عددی است که باید از این شرط تعیین شود که هر دو |n⟩ و |n-1⟩ نرمال شوند. ابتدا توجه داشته باشید که؛

می‌توانیم سمت چپ (2.135) را با توجه به اینکه a†a فقط عملگر عدد است، ارزیابی کنیم.؛

با در نظر گرفتن c به صورت قراردادی واقعی و مثبت، در نهایت به دست می آوریم؛

به همین ترتیب، داریم:

فرض کنید ما به اعمال عملگر حذف a در دو طرف (2.137) ادامه می دهیم:

تا زمانی که دنباله خاتمه یابد، می توانیم اپراتورهای ویژه عددی را با n کوچکتر و کوچکتر به دست آوریم، که هر زمان که با n عدد صحیح مثبت شروع کنیم این اتفاق می افتد. ممکن است کسی استدلال کند که اگر با یک عدد غیرصحیح n شروع کنیم، دنباله خاتمه نمی‌یابد و منجر به مجموعه‌های ویژه با مقدار منفی n می‌شود. اما لازمه مثبت بودن هنجار a|n⟩ نیز این گونه است:

که به این معنی است که n هرگز نمی تواند منفی باشد! بنابراین نتیجه می گیریم که دنباله باید با n=0 خاتمه یابد و مقادیر مجاز n اعداد صحیح غیرمنفی هستند.
از آنجایی که کوچکترین مقدار ممکن n صفر است، حالت پایه نوسانگر هارمونیک بدین صورت است؛

اکنون می توانیم متوالی عملگر ایجاد a† را در حالت پایه |0⟩ اعمال کنیم. با استفاده از (2.138) داریم:

به این ترتیب ما موفق به ساخت مجموعه های ویژه همزمان N و H با مقادیر ویژه انرژی شده ایم؛

از (2.137)، (2.138) و شرط متعامد بودن برای {|n⟩}، عناصر ماتریس را بدست می آوریم.

که با جمع‌بندی این‌ها ، داریم؛

ما عناصر ماتریس عملگرهای x و p را استخراج می کنیم:

توجه داشته باشید که نه x و نه p در N-نمایشی که استفاده می کنیم مورب نیستند. این تعجب آور نیست زیرا x و p مانند a و a† با N تبادل نمی کنند.
روش عملگر همچنین می تواند برای به دست آوردن توابع ویژه انرژی در فضای موقعیت استفاده شود. اجازه دهید با حالت پایه تعریف شده زیر شروع کنیم؛

که در بازنمایی x، داریم؛

با توجه به (1.249)، می‌توانیم این را به عنوان یک معادله دیفرانسیل برای تابع موج حالت پایه ⟨x’|0⟩ در نظر بگیریم:

در اینجا ما فرمول جدیدی را معرفی می‌کنیم؛

که مقیاس طول نوسانگر را تعیین می کند. می بینیم که راه حل نرمالیزه شده برای (2.149) به این صورت است؛

همچنین می‌توانیم توابع ویژه انرژی را برای حالت‌های برانگیخته بدست آوریم؛

دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی

بصورت عمومی‌تر داریم؛

بررسی مقادیر مورد‌انتظار x2 و p2 برای حالت پایه سودمند است. ابتدا توجه داشته باشید که؛

هنگامی که مقدار مورد‌انتظار x2 را در نظر می گیریم، فقط آخرین جمله در (2.154) یک سهم ناپدیدکننده به دست می دهد:

بدین ترتیب، داریم؛

در نتیجه مقادیر مورد انتظار انرژی جنبشی و انرژی بالقوه به ترتیب عبارتند از؛

همانطور که از قضیه ویریال انتظار می رود. از (2.146a) و (2.146b)، نتیجه می شود که؛

که برای حالت های برانگیخته نیز صدق می کند. بنابراین ما داریم؛

و می بینیم که رابطه عدم قطعیت در فرمول مینیموم محصول عدم قطعیت برآورده می شود:

این خیلی عجیب نیست زیرا تابع موج وضعیت زمین یک شکل گاوسی دارد. در مقابل، محصولات عدم قطعیت برای حالت های بر‌انگیخته بزرگتر هستند:

اثبات آن ساده بنظر می‌رسد.
۲.۳.۲ زمان پیشروی نوسانگر
تا کنون در مورد تکامل زمانی کت های حالت نوسانگر و همچنین قابل مشاهده هایی مانند x و p بحث نکرده ایم. قرار است هر کاری که انجام داده‌ایم در یک لحظه ثابت بماند، مثلاً t = 0. عملگرهای x، p، a و a† یا به عنوان عملگرهای تصویر شرودینگر (در تمام t) یا به عنوان عملگرهای تصویر هایزنبرگ در t = 0 در نظر گرفته می شوند. در قسمت باقی مانده از این بخش، ما منحصراً در تصویر هایزنبرگ کار می کنیم. ، به این معنی که x، p، a و a† همه به زمان وابسته هستند (حتی اگر ما به صراحت x(H)(t) و غیره را ننویسیم).
معادلات حرکت هایزنبرگ برای p و x از (2.106) و (2.107) گرفته شدند.

این جفت معادله دیفرانسیل جفت شده معادل دو دیفرانسیل غیر جفت شده در
معادلات a و a† است، یعنی؛

که راه حل آنها بدین صورت است؛

این روابط به صراحت نشان می دهد که N و H عملگرهای مستقل از زمان هستند (حتی در تصویر هایزنبرگ). می‌توانیم (2.164) را بر حسب x و p بازنویسی کنیم؛

با تساوی هرمسی و ضد هرمیتی هر دو طرف به طور جداگانه استنباط می کنیم که؛
این معادلات شبیه معادلات حرکت کلاسیک هستند. می بینیم که عملگرهای x و p درست مانند آنالوگ های کلاسیک خود “نوسان می کنند”.
به دلایل آموزشی ، اکنون یک مشتق جایگزین از (2.166a) ارائه می کنیم. به جای حل معادله هایزنبرگ حرکت، سعی می کنیم ارزیابی کنیم؛

برای این منظور ما یک فرمول بسیار مفید را بیان می کنیم:

که در آن G یک عملگر هرمیتی و λ یک پارامتر واقعی است. ما اثبات این فرمول را که به لم بیکر-دانلود کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی معروف است، به عنوان تمرین باقی می گذاریم. با اعمال این فرمول برای (2.167)، داریم:

هر عبارت سمت راست را می توان با استفاده مکرر به x یا p تبدیل کرد؛

بنابراین؛

که مطابق با (2.166a) است.
با توجه به (2.166a) و (2.166b)، ممکن است تصور شود که ⟨x⟩ و ⟨p⟩ همیشه با فرکانس زاویه ای ω در نوسان هستند. با این حال، این استنباط صحیح نیست. هر حالت ویژه انرژی که با مقدار معین n مشخص می شود را در نظر بگیرید. مقدار انتظار ⟨n|x(t)|n⟩ ناپدید می شود زیرا عملگرهای x(0) و p(0) n را با 1± تغییر می دهند و |n⟩ و |n ± 1⟩ متعامد هستند. این نکته از نتیجه گیری قبلی ما نیز آشکار است (به بخش 2.1 مراجعه کنید) که مقدار انتظاری یک مشاهده پذیر گرفته شده با توجه به حالت ساکن با زمان تغییر نمی کند. برای مشاهده نوساناتی که یادآور نوسان ساز کلاسیک هستند، باید به برهم نهی حالت های ویژه انرژی مانند زیر باشد:

مقدار مورد انتظار x(t) که در رابطه با (2.172) گرفته شده است، نوسان می کند که خواننده نیز به راحتی این را متوجه شود.
ما دیده‌ایم که یک حالت ویژه انرژی مانند نوسان‌گر کلاسیک رفتار نمی‌کند – به معنای نوسانی مقادیر انتظار برای x و p – مهم نیست که n چقدر بزرگ باشد. ممکن است بپرسیم: چگونه می‌توانیم یک برهم‌نهی از حالت‌های ویژه انرژی بسازیم که بیشترین تقلید را از نوسانگر کلاسیک داشته باشد؟ در زبان تابع موج، ما یک بسته موج می خواهیم که بدون پخش شدن در شکل به جلو و عقب بازگردد. به نظر می رسد که یک حالت منسجم که توسط معادله مقدار ویژه برای عملگر نابودی غیر هرمیتی a تعریف شده است، به این صورت باشد؛

به طور کلی با یک مقدار ویژه پیچیده λ کار مورد نظر را انجام می دهد. حالت منسجم دارای بسیاری از ویژگی های قابل توجه دیگر است؛
1. هنگامی که به صورت برهم نهی از حالت های ویژه انرژی (یا N) بیان می شود

توزیع |f(n)|2 با توجه به n از نوع پواسون و در حدود مقدار n ̄ است:

2. می توان آن را با تبادل حالت پایه اسیلاتور با مقداری فاصله محدود به دست آورد.
3. حداقل رابطه محصول عدم قطعیت را برآورده می کند؛
2.4 معادله موج شرودینگر
2.4.1 معادله موج وابسته به زمان
اکنون به تصویر شرودینگر می پردازیم و تکامل زمانی آلفا ، t، t0 را بررسی می کنیم. ت) در نمایش x. وظیفه ما بررسی رفتار تابع موج است؛

به عنوان تابعی از زمان، جایی که |α,t0; t⟩ یک حالت ket در تصویر شرودینگر در زمان t و ⟨x′| است یک موقعیت ویژه مستقل از زمان با مقدار ویژه x′ داریم. اپراتور همیلتونی به این صورت در نظر گرفته شده است؛

پتانسیل بالقوه V(x) یک عملگر هرمیتی است. همچنین محلی است به این معنا که در بازنمایی x ما داریم؛

که در آن V(x’) یک تابع واقعی از x است. بعداً در این کتاب، هامیلتونی‌های پیچیده‌تر را در نظر خواهیم گرفت: یک پتانسیل وابسته به زمان V(x,t). یک پتانسیل غیرمحلی اما قابل تفکیک که در آن سمت راست (2.178) با v1(x′′)v2(x′) جایگزین می شود. یک برهمکنش وابسته به تکانه به شکل p · A + A · p، که در آن A پتانسیل برداری در الکترودینامیک است و غیره.
اکنون معادله موج وابسته به زمان شرودینگر را استخراج می کنیم. ما ابتدا معادله شرودینگر را برای حالت کت (2.27) در نمای x می نویسیم:

که ما از این واقعیت استفاده کرده ایم که موقعیت کاپ‌های خاص در تصویر شرودینگر با گذشت زمان تغییر نمی کند. با استفاده از (1.252)، می توانیم سهم انرژی جنبشی در سمت راست (2.179) را به صورت زیر بنویسیم.

در مورد V(x)، ما به سادگی از مورد زیر استفاده کردیم؛

5) برای کاربرد در فیزیک لیزر، به Sargent و همکاران مراجعه کنید. (1974) و لودون (2000). همچنین به بحث در مورد نور فشرده در انتهای بخش 7.8 این کتاب مراجعه کنید.
که در آن V(x’) دیگر یک عملگر نیست. با ترکیب همه چیز با هم، استنباط می کنیم که:

که ما آن را معادله موج وابسته به زمان مشهور ای. شرودینگر می‌دانیم که معمولاً به صورت زیرنوشته می‌شود؛

مکانیک کوانتومی بر اساس معادله موجی (2.183) به مکانیک موجی معروف است. این معادله در واقع نقطه شروع بسیاری از کتاب های درسی مکانیک کوانتومی است. با این حال، در فرمالیسم ما، این فقط معادله شرودینگر برای یک حالت کت است که به صراحت در پایه x و در زمانی است که عملگر همیلتونی (2.177) در نظر گرفته شود.
2.4.2 معادله موج مستقل از زمان
اکنون معادله دیفرانسیل جزئی برآورده شده توسط توابع ویژه انرژی را استخراج می کنیم. در بخش 2.1 نشان دادیم که وابستگی زمانی یک حالت ساکن با exp(-iEa’ t/h ̄ ) داده می شود. این ما را قادر می سازد تابع موج آن را به صورت زیر بنویسیم؛

که در آن قابل درک است که در ابتدا سیستم در یک حالت ویژه همزمان A و H با مقادیر ویژه a’ و Ea’ آماده شده است. اکنون اجازه دهید (2.184) را با معادله شرودینگر وابسته به زمان (2.182) جایگزین کنیم. سپس داریم:
این معادله دیفرانسیل جزئی توسط تابع ویژه انرژی ⟨x′|a′⟩ با مقدار ویژه انرژی Ea′ درست در‌می‌آید. در واقع، در مکانیک موجی که عملگر همیلتونی به عنوان تابعی از x و p داده می‌شود، مانند (2.177)، نیازی به ارجاع صریح به A قابل مشاهده که با H تغییر می‌کند، نیست زیرا همیشه می‌توانیم A را به عنوان تابعی از قابل مشاهده x و p که با خود H منطبق است، انتخاب کنیم. بنابراین ممکن است ارجاع به a’ را حذف کنیم و به سادگی (2.185) را به عنوان معادله دیفرانسیل جزئی بنویسیم که باید توسط تابع ویژه انرژی uE (x’) برآورده شود:

این معادله موج مستقل از زمان ای.شرودینگر است که در اولین مقاله از چهار مقاله تاریخی که همگی در نیمه اول سال 1926 نوشته شده اند، اعلام شد و پایه های مکانیک موج را بنا نهاد. در همان مقاله، شرودینگر بلافاصله (2.186) را برای استخراج طیف انرژی اتم هیدروژن اعمال کرد.
برای حل (2.186) یک شرط مرزی باید اعمال شود. فرض کنید ما به دنبال راه حلی برای (2.186) هستیم، ما داریم؛

که در آن رابطه نابرابری برای |x’| در هر جهت برقرار است → ∞ . شرط مرزی مناسبی که در این مورد استفاده می شود، به این صورت باشد؛

از نظر فیزیکی این بدان معنی است که ذره در یک منطقه محدود از فضای شده است. ما از تئوری معادلات دیفرانسیل جزئی می دانیم که (2.186) مشروط به شرط مرزی (2.188) راه حل های غیر ضروری را فقط برای مجموعه ای از مقادیر گسسته E مجاز می‌داندگ. از این طریق است که معادله شرودینگر مستقل از زمان (2.186) نتیجه می دهد. زمانی که معادله دیفرانسیل جزئی (2.186) نوشته شد، مشکل یافتن سطوح انرژی سیستم‌های فیزیکی میکروسکوپی به همان اندازه ساده است که فرکانس‌های مشخصه رشته‌ها یا غشاهای ارتعاشی. در هر دو مورد، ما مسائل ارزش مرزی را در فیزیک ریاضی حل می کنیم.
در اینجا یک نگاه کوچک به تاریخ مکانیک کوانتومی لازم است. این واقعیت که دقیقاً مسائل ارزش ویژه قابل حل در نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی را می توان با استفاده از روش های دانلود کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی نیز انجام داد، قبلاً در ربع اول قرن بیستم برای ریاضیدانان شناخته شده بود. علاوه بر این، فیزیکدانان نظری مانند M. Born به طور مکرر با ریاضیدانان بزرگ آن روز – به ویژه D. Hilbert و H. Weyl – مشورت می کردند. با این حال، هنگامی که مکانیک ماتریس در تابستان 1925 متولد شد، بلافاصله به ذهن فیزیکدانان نظری یا ریاضیدانان خطور نکرد که آن را با استفاده از زبان معادلات دیفرانسیل جزئی فرموله کنند. شش ماه پس از مقاله پیشگام هایزنبرگ، مکانیک موج توسط شرودینگر پیشنهاد شد. با این حال، بررسی دقیق مقالات او نشان می دهد که او اصلاً تحت تأثیر آثار قبلی هایزنبرگ، بورن و جردن قرار نگرفته است. در عوض، استدلالی که شرودینگر را به فرمول‌بندی مکانیک موجی سوق داد، ریشه در قیاس W. R. Hamilton بین اپتیک و مکانیک دارد که بعداً در مورد آن و فرضیه موج-ذره L. de Broglie توضیح خواهیم داد. هنگامی که مکانیک موج فرموله شد، بسیاری از افراد، از جمله خود شرودینگر، هم ارزی مکانیک موج و مکانیک ماتریس را نشان دادند.
فرض بر این است که خواننده این کتاب تجربه حل معادلات موج وابسته به زمان و مستقل از زمان را داشته باشد. او باید با تکامل زمانی یک بسته موج گاوسی در یک منطقه بدون نیرو نیز آشنا باشد. باید بتواند مسائل بازتابی یک بعدی را که شامل یک مانع پتانسیل مستطیلی شکل و مانند آن است، حل کند. باید راه‌حل‌های ساده معادله موج مستقل از زمان – یک ذره در یک جعبه، یک ذره در یک مسیر مربعی، یک نوسان‌گر هارمونیک ساده، اتم هیدروژن و غیره – را که مشاهده می‌کردیم و همچنین باید با برخی از ویژگی‌های کلی آشنا باشد. از توابع ویژه انرژی و مقادیر ویژه انرژی، مانند (1) این واقعیت که سطوح انرژی یک طیف گسسته یا پیوسته را بسته به تطابق یا عدم تطابق (2.187) نشان می‌دهند و (2) خاصیت سینوسی بودن تابع ویژه انرژی در یک بعد است. یا بسته به مثبت یا منفی بودن E-V(x’) میرا می شود.
در این کتاب، ما به طور کامل به این موضوعات ابتدایی و راه حل ها نمی پردازیم. برخی از این موارد مانند نوسان ساز هارمونیک و اتم هیدروژن بررسی می شوند، اما در سطح ریاضی تا حدودی بالاتر از آنچه معمولا در دوره های کارشناسی دیده می شود. در هر صورت، خلاصه‌ای از راه‌حل‌های ابتدایی معادلات شرودینگر در پیوست B ارائه شده است.

2.4.3 تفسیر تابع موج
اکنون به بحث در مورد تفسیرهای فیزیکی تابع موج می پردازیم. در بخش 1.7 ما در مورد تفسیر احتمالی |ψ|2 نظر دادیم که از این واقعیت ناشی می شود که ⟨x’|α,t0; t⟩ باید به عنوان ضریب بسط |α,t0 در نظر گرفته شود. t⟩ بر حسب ویژگی های موقعیت {|x′⟩} و کمیت ρ(x’,t) از رابطه زیر تعریف می‌شود؛

بنابراین به عنوان چگالی احتمال در مکانیک موج در نظر گرفته می شود. به طور خاص، وقتی از آشکارساز استفاده می کنیم که حضور ذره را در یک عنصر حجم کوچک d3x’ حول x’ مشخص می کند، احتمال ثبت نتیجه مثبت در زمان t با ρ(x’,t)d3x’ داده می شود.
در ادامه این بخش از x برای x ‘ استفاده می کنیم زیرا عملگر موقعیت ظاهر نمی شود. با استفاده از معادله موج وابسته به زمان شرودینگر، استخراج معادله تداوم ساده است.

که ρ(x,t) مخفف |ψ|2 مانند قبل است، و j(x,t)، به عنوان شار احتمال شناخته می شود و از طریق زیر بدست می‌آید؛

پتانسیل حقیقی V (یا هرمیتیسیته عملگر V) نقش مهمی در به دست آوردن این نتیجه ایفا کرده است. برعکس، یک پتانسیل پیچیده می تواند از نظر پدیدارشناسی ناپدید شدن یک ذره را توضیح دهد. چنین پتانسیلی اغلب برای واکنش‌های هسته‌ای استفاده می‌شود که در آن ذرات فرورفته توسط هسته‌ها جذب می‌شوند.
ممکن است به طور شهودی انتظار داشته باشیم که شار احتمال j با تکانه مرتبط باشد. در واقع این امر برای j یکپارچه شده در تمام فضا صادق است. از (2.191) بدست می آوریم:

که در آن ⟨p⟩t مقدار مورد‌انتظار عملگر حرکت در زمان t است.
معادله (2.190) یادآور معادله تداوم در دینامیک سیالات است که یک جریان هیدرودینامیکی سیال را در یک منطقه عاری از منبع و بدون سینک مشخص می کند. در واقع، شرودینگر از نظر تاریخی برای اولین بار به تفسیر |ψ|2 به چگالی ماده واقعی یا e|ψ|2 از نظر چگالی بار الکتریکی واقعی پرداخته شد. اگر چنین دیدگاهی را اتخاذ کنیم، با عواقب عجیبی روبرو می شویم.
یک استدلال معمولی برای اندازه گیری موقعیت ممکن است به شرح زیر باشد.
الکترون اتمی را باید به عنوان توزیع پیوسته ای از ماده در نظر گرفت که ناحیه محدودی از فضای اطراف هسته را پر می کند. با این حال، هنگامی که اندازه گیری برای اطمینان از اینکه الکترون در نقطه خاصی قرار دارد انجام می شود، ناگهان این توزیع پیوسته ماده به یک ذره نقطه مانند بدون گسترش فضایی منقبض می شود. تفسیر آماری رضایت بخش تر از |ψ|2 به عنوان چگالی احتمال برای اولین بار توسط M. Born ارائه شد.
برای درک اهمیت فیزیکی تابع موج، اجازه دهید آن را به این صورت بنویسیم؛

با S حقیقی و ρ > 0، که همیشه می توان برای هر تابع مختلط x و t انجام داد. معنای ρ قبلاً گفته شده است. تفسیر فیزیکی S چیست؟ می‌نویسیم:

می توانیم شار احتمال را به صورت [نگاه کنید به (2.191)]زیر نیز بنویسیم؛

اکنون می بینیم که تابع موج بیشتر از این واقعیت است که |ψ|2 چگالی احتمالی باشد. گرادیان فاز S حاوی اطلاعات حیاتی است. از (2.195) می بینیم که تغییر فضایی فاز تابع موج، شار احتمال را مشخص می کند. هرچه تغییر فاز قوی تر باشد، شار شدیدتر است. جهت j در نقطه ای x نسبت به سطح فاز ثابتی که از آن نقطه می گذرد نرمال است. در مثال ساده ای از یک موج مسطح (یک تابع ویژه تکانه) داریم؛

که p مخفف مقدار ویژه عملگر حرکت است. همه اینها مشهود است چرا که؛

به طور کلی، وسوسه انگیز است که ∇S/m را به عنوان نوعی “سرعت” در نظر بگیریم.

و معادله پیوستگی (2.190) به صورت زیر است؛

۲.۴.۴ حد کلاسیک
اکنون در مورد حد کلاسیک مکانیک موج بحث می کنیم. ابتدا، ψ نوشته شده به شکل (2.193) را در هر دو طرف معادله موج وابسته به زمان جایگزین می کنیم. تمایزات مستقیم منجر می‌شود به:

تا اینجا همه چیز دقیق بوده است. اکنون فرض کنیم h ̄ را می توان به نوعی کمیت کوچک در نظر گرفت. معنای فیزیکی دقیق این تقریب، که بعداً به آن خواهیم پرداخت، اکنون آشکار نیست، اما اجازه دهید فرض کنیم:
سپس می‌توانیم عباراتی را در (2.200) جمع‌آوری کنیم که صریحاً حاوی h ̄ نیستند تا یک معادله دیفرانسیل جزئی غیرخطی برای S بدست آوریم:

می‌دانیم که این معادله دانلود کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی در مکانیک کلاسیک است که برای اولین بار در سال 1836 نوشته شد و S(x, t) مخفف تابع اصلی همیلتون است. بنابراین، جای تعجب نیست که در حد h ← 0، مکانیک کلاسیک در مکانیک موجی شرودینگر وجود دارد. ما یک تفسیر نیمه کلاسیک از فاز تابع موج داریم: h ̄ برابر فاز با تابع اصلی همیلتون است به شرطی که h ̄ را (−/̄) :
() (()، -). ً «»، ‌-‌:

دانلود کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی - ترجمه جدید

ویرایش جدید کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی

URL: https://pdf-ketab.ir/download/pdf/book/8c/

نویسنده: saman

امتیازدهی ویرایشگر:
5